Sebagai
contoh dari bilangan desimal, untuk angka 157:
157(10)
= (1 x 100) + (5 x 10) + (7 x 1)
Perhatikan!
bilangan desimal ini sering juga disebut basis 10. Hal ini dikarenakan
perpangkatan 10 yang didapat dari 100,
101, 102,
dst.
Mengenal
Konsep Bilangan Biner dan Desimal
Perbedaan
mendasar dari metoda biner dan desimal adalah berkenaan dengan basis. Jika
desimal berbasis 10 (X10) berpangkatkan 10x, maka untuk bilangan biner
berbasiskan 2 (X2) menggunakan perpangkatan 2x. Sederhananya perhatikan contoh di
bawah ini!
Untuk Desimal:
14(10)
= (1 x 101)
+ (4 x 100)
= 10 + 4
= 14
Untuk Biner:
1110(2) = (1 x 23) + (1 x 22) + (1 x 21) + (0 x 20)
= 8 + 4 + 2 + 0
= 14
Bentuk umum
dari bilangan biner dan bilangan desimal adalah :
|
Biner
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
11111111
|
|
Desimal
|
128
|
64
|
32
|
16
|
8
|
4
|
2
|
1
|
255
|
|
Pangkat
|
27
|
26
|
25
|
24
|
23
|
22
|
21
|
20
|
X1-7
|
Sekarang
kita balik lagi ke contoh soal di atas! Darimana kita dapatkan angka desimal
14(10) menjadi angka biner 1110(2)?
Mari kita lihat lagi pada bentuk umumnya!
|
Biner
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
00001110
|
|
Desimal
|
0
|
0
|
0
|
0
|
8
|
4
|
2
|
0
|
14
|
|
Pangkat
|
27
|
26
|
25
|
24
|
23
|
22
|
21
|
20
|
X1-7
|
Mari kita telusuri perlahan-lahan!
·
Pertama sekali, kita jumlahkan angka pada desimal
sehingga menjadi 14. anda lihat angka-angka yang menghasilkan angka 14 adalah
8, 4, dan 2!
·
Untuk
angka-angka yang membentuk angka 14 (lihat angka yang diarsir), diberi tanda
biner “1”, selebihnya diberi tanda “0”.
·
Sehingga
kalau dibaca dari kanan, angka desimal 14 akan menjadi 00001110 (terkadang dibaca
1110) pada angka biner nya.
Mengubah
Angka Biner ke Desimal
Perhatikan
contoh!
1. 11001101(2)
|
Biner
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
11001101
|
|
Desimal
|
128
|
64
|
0
|
0
|
8
|
4
|
0
|
1
|
205
|
|
Pangkat
|
27
|
26
|
25
|
24
|
23
|
22
|
21
|
20
|
X1-7
|
Note:
·
Angka
desimal 205 didapat dari penjumlahan angka yang di arsir (128+64+8+4+1)
·
Setiap
biner yang bertanda “1” akan dihitung, sementara biner yang bertanda “0” tidak
dihitung, alias “0” juga.
2. 00111100(2)
|
Biner
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
00111100
|
|
0
|
0
|
0
|
32
|
16
|
8
|
4
|
0
|
0
|
60
|
|
Pangkat
|
27
|
26
|
25
|
24
|
23
|
22
|
21
|
20
|
X1-7
|
Mengubah
Angka Desimal ke Biner
Untuk
mengubah angka desimal menjadi angka biner digunakan metode pembagian dengan
angka 2 sambil memperhatikan sisanya.
Perhatikan contohnya!
1. 205(10)
205 : 2 =
102 sisa 1
102 : 2 =
51 sisa 0
51 : 2 =
25 sisa 1
25 : 2 =
12 sisa 1
12 : 2 =
6 sisa 0
6 : 2 =
3 sisa 0
3 : 2 =
1 sisa 1
1 Ã sebagai sisa
akhir “1”
Note:
Untuk menuliskan notasi binernya, pembacaan dilakukan
dari bawah yang berarti 11001101(2)
2. 60(10)
60 : 2 =
30 sisa 0
30 : 2 =
15 sisa 0
15 : 2 =
7 sisa 1
7 : 2 =
3 sisa 1
3 : 2 =
1 sisa 1
1 Ã sebagai sisa
akhir “1”
Note:
Dibaca dari bawah menjadi 111100(2)
atau lazimnya dituliskan dengan 00111100(2). Ingat
bentuk umumnnya mengacu untuk 8 digit! Kalau 111100 (ini 6 digit) menjadi 00111100
(ini sudah 8 digit).
Aritmatika Biner
Pada bagian ini akan membahas penjumlahan dan pengurangan
biner. Perkalian biner adalah pengulangan dari penjumlahan; dan juga akan
membahas pengurangan biner berdasarkan ide atau gagasan komplemen.
Penjumlahan Biner
Penjumlahan biner tidak begitu beda jauh dengan
penjumlahan desimal. Perhatikan contoh penjumlahan desimal antara 167 dan 235!
1 Ã 7 + 5 = 12, tulis “2” di bawah dan angkat “1” ke atas!
167
235
---- +
402
Seperti bilangan desimal, bilangan biner juga dijumlahkan
dengan cara yang sama. Pertama-tama yang harus dicermati adalah aturan pasangan
digit biner berikut:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 1 = 0 Ã dan
menyimpan 1
sebagai catatan bahwa jumlah dua
yang terakhir adalah :
1 + 1 + 1 = 1 Ã dengan
menyimpan 1
Dengan hanya
menggunakan penjumlahan-penjumlahan di atas, kita dapat melakukan penjumlahan
biner seperti ditunjukkan di bawah ini:
1 1111 Ã “simpanan 1” ingat kembali aturan di atas!
01011011 Ã bilangan
biner untuk 91
01001110 Ã bilangan
biner untuk 78
------------ +
10101001 Ã Jumlah
dari 91 + 78 = 169
Silahkan pelajari aturan-aturan pasangan digit biner yang
telah disebutkan di atas!
Contoh
penjumlahan biner yang terdiri dari 5 bilangan!
11101 bilangan 1)
10110 bilangan 2)
1100 bilangan
3)
11011 bilangan 4)
1001 bilangan
5)
-------- +
untuk
menjumlahkannya, kita hitung berdasarkan aturan yang berlaku, dan untuk lebih
mudahnya perhitungan dilakukan bertahap!
11101 bilangan 1)
10110 bilangan 2)
------- +
110011
1100 bilangan 3)
------- +
111111
11011 bilangan 4)
------- +
011010
1001 bilangan 5)
------- +
1100011 Ã Jumlah
Akhir .
sekarang coba tentukan berapakah bilangan 1,2,3,4 dan 5!
Apakah memang perhitungan di atas sudah benar?
Pengurangan Biner
Pengurangan bilangan desimal 73426 – 9185 akan
menghasilkan:
73426 Ã lihat!
Angka 7 dan angka 4 dikurangi dengan 1
9185 Ã digit
desimal pengurang.
--------- -
64241 Ã Hasil
pengurangan akhir .
Bentuk Umum pengurangan :
0 – 0 = 0
1 – 0 = 0
1 – 1 = 0
0 – 1 = 1 Ã dengan
meminjam ‘1’ dari digit disebelah kirinya!
Untuk pengurangan biner dapat dilakukan dengan cara yang
sama. Coba perhatikan bentuk pengurangan berikut:
1111011 Ã desimal
123
101001 Ã desimal 41
--------- -
1010010 Ã desimal
82
Pada contoh di atas tidak terjadi “konsep peminjaman”.
Perhatikan contoh berikut!
0 Ã kolom
ke-3 sudah menjadi ‘0’, sudah dipinjam!
111101 Ã desimal
61
10010 Ã desimal
18
------------ -
101011 Ã Hasil
pengurangan akhir 43 .
Pada soal yang kedua ini kita pinjam ‘1’ dari kolom 3,
karena ada selisih 0-1 pada kolom ke-2. Lihat Bentuk Umum!
7999 Ã hasil
pinjaman
800046
397261
--------- -
402705
Sebagai contoh
pengurangan bilangan biner 110001 – 1010 akan diperoleh hasil sebagai berikut:
1100101
1010
---------- -
100111
Komplemen
Salah satu metoda yang dipergunakan dalam pengurangan
pada komputer yang ditransformasikan menjadi penjumlahan dengan menggunakan minusradiks-komplemen
satu atau komplemen radiks. Pertama-tama kita bahas komplemen di
dalam sistem desimal, dimana komplemen-komplemen tersebut secara berurutan
disebut dengan komplemen sembilan dan komplemen sepuluh (komplemen
di dalam system biner disebut dengan komplemen satu dan komplemen dua).
Sekarang yang paling penting adalah menanamkan prinsip ini:
“Komplemen sembilan dari bilangan desimal
diperoleh dengan mengurangkan masing-masing digit desimal tersebut ke bilangan
9, sedangkan komplemen sepuluh adalah komplemen sembilan ditambah 1”
Lihat contoh nyatanya!
Bilangan Desimal 123
651 914
Komplemen Sembilan 876
348 085
Komplemen Sepuluh 877
349 086 Ã ditambah
dengan 1!
Perhatikan hubungan diantara bilangan dan komplemennya
adalah simetris. Jadi, dengan memperhatikan contoh di atas, komplemen 9 dari
123 adalah 876 dengan simple menjadikan jumlahnya = 9 ( 1+8=9, 2+7=9 , 3+6=9 )!
Sementara komplemen 10 didapat dengan menambahkan 1 pada
komplemen 9, berarti 876+1=877!
Pengurangan desimal dapat dilaksanakan dengan penjumlahan
komplemen sembilan plus satu, atau penjumlahan dari komplemen sepuluh!
893 893
893
321 678
(komp.
9) 679
(komp.
10)
---- - ---- + ---- +
572 1571 1572
1
---- +
572 Ã
angka 1 dihilangkan!
Analogi
yang bisa diambil dari perhitungan komplemen di atas adalah, komplemen satu
dari bilangan biner diperoleh dengan jalan mengurangkan masing-masing digit
biner tersebut ke bilangan 1, atau dengan bahasa sederhananya mengubah
masing-masing 0 menjadi 1 atau sebaliknya mengubah masing-masing 1 menjadi 0.
Sedangkan komplemen dua adalah satu plus satu. Perhatikan Contoh .!
Bilangan Biner 110011 101010 011100
Komplemen Satu 001100 010101 100011
Komplemen Dua 001101 010110 100100
Pengurangan
biner 110001 – 1010 akan kita telaah pada contoh di bawah ini!
110001 110001 110001
001010 110101 110110
--------- - --------- + ---------
+
100111 100111 1100111
dihilangkan!
Alasan
teoritis mengapa cara komplemen ini dilakukan, dapat dijelaskan dengan memperhatikan
sebuah speedometer mobil/motor dengan empat digit sedang membaca nol!
Sistem
Oktal dan Heksa Desimal
Bilangan oktal adalah bilangan dasar 8, sedangkan bilangan
heksadesimal atau sering disingkat menjadi heks. ini adalah bilangan berbasis
16. Karena oktal dan heks ini merupakan pangkat dari dua, maka mereka memiliki
hubungan yang sangat erat. oktal dan heksadesimal berkaitan dengan prinsip
biner!
1. Ubahlah bilangan
oktal 63058
menjadi bilangan biner
!
6 3
0 5 Ã oktal
110 011
000 101 Ã biner
Note:
·
Masing-masing digit oktal diganti dengan ekivalens 3 bit
(biner)
·
Untuk lebih jelasnya lihat tabel Digit Oktal di bawah!
2. Ubahlah bilangan heks 5D9316
menjadi bilangan biner !
heks à biner
5 Ã
0101
D Ã
1101
9 Ã
1001
3 Ã
0011
Note:
·
Jadi
bilangan biner untuk heks 5D9316 adalah
0101110110010011
·
Untuk
lebih jelasnya lihat tabel Digit Heksadesimal di bawah!
3. Ubahlah bilangan
biner 1010100001101 menjadi bilangan oktal !
001 010 100 001 101 Ã
biner
3 2
4 1
5 Ã
oktal
Note:
·
Kelompokkan
bilangan biner yang bersangkutan menjadi 3-bit mulai dari kanan!
4. Ubahlah bilangan biner 101101011011001011
menjadi bilangan heks !
0010 1101 0110 1100 1011 Ã biner
2 D 6 C
B Ã heks
Tabel Digit Oktal
|
Digit
Oktal
|
Ekivalens
3-Bit
|
|
0
|
000
|
|
1
|
001
|
|
2
|
010
|
|
3
|
011
|
|
4
|
100
|
|
5
|
101
|
|
6
|
110
|
|
7
|
111
|
Tabel
Digit Heksadesimal
|
Digit
Desimal
|
Ekivalens
4-Bit
|
|
0
|
0000
|
|
1
|
0001
|
|
2
|
0010
|
|
3
|
0011
|
|
4
|
0100
|
|
5
|
0101
|
|
6
|
0110
|
|
7
|
0111
|
|
8
|
1000
|
|
9
|
1001
|
|
A
(10)
|
1010
|
|
B
(11)
|
1011
|
|
C
(12)
|
1100
|
|
D
(13)
|
1101
|
|
E
(14)
|
1110
|
|
F
(15)
|
1111
|
Posts
0 komentar:
Post a Comment